Équation polynômiale (1) - Corrigé

Énoncé

On note \((E)\) l'équation :  \(z^3 + 3z^2 + 3z + 2=0\) , d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) .

1. Montrer que \(-2\) est solution de \((E)\) .

2. Déterminer l'ensemble des solutions de \((E)\) dans \(\mathbb{C}\) .

Solution

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) = z^3 + 3z^2 + 3z + 2\) . Soit \(z \in \mathbb{C}\) ,  \(z\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est racine de \(P\) .

1. \(P(-2) = (-2)^3 + 3\times (-2)^2 + 3 \times (-2) + 2 =0\) . Donc \(-2\) est solution de \((E)\) .

2. \(P\) est de degré \(3\) et \(-2\) est racine de \(P\) . Soit donc \(a , b\)  et \(c\) des réels tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z+2)(az^2+bz+c)\) .
On a, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \((z+2)(az^2+bz+c) = az^3+ bz^2 + cz +2az^2 -3bz +2c = az^3 +(b+2a)z^2 + (c+2b)z +2c\) .
Donc pour que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z+2)(az^2+bz+c)\) , il suffit (et il faut) que :
\(\begin{cases}a = 1 \\b+2a = 3 \\c+2b = 3 \\2c = 2\end{cases}\)
Or,
\(\begin{cases}a = 1 \\b+2a = 3 \\c+2b = 3 \\2c = 2\end{cases}\iff\begin{cases}a = 1 \\b = 1 \\c = 1\end{cases}\)
On a donc \(P(z) = (z+2)(z^2+z+1)\) .
Finalement, \(P(z)=0 \iff z=-2 \text{ ou } z^2+z+1=0\) .

Et le trinôme du second degré \(z^2+z+1\) a pour discriminant \(\Delta = 1^2-4\times 1 \times 1 =-3\) . \(\Delta < 0\) , donc l'équation \(z^2+z+1 = 0\) a deux solutions complexes conjuguées : \(z_1 = -\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(z_2 = \overline{z_1} = -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
Finalement, \(S = \left\lbrace -2 ;-\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} ;-\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rbrace\) .